ويبتدر من تأمل الشكل فورًا أن المثلثين القائمي الزاوية المرسومين على الضلعين القائمتين إنما هما المثلثان الحاصلان في المثلث الأصلي عند رسم ارتفاعه، والمثلث المرسوم على الوتر إنما هو نظير المثلث الأصلي، ونلاحظ أن الخط الذي كنا بحثنا عنه للبرهان في الشكل المدرسي القديم إنما هو عبارة عن ارتفاع المثلث نفسه.
بيد أننا هل نحتاج إلى رسم هذه المثلثات الخارجية؟ إن المرء الذي تعود التجريد بعض الشيء يستطيع أن يتأمل خاصية المثلث القائم الزاوية في الشكل الآتي الذي هو أكثر الأشكال اختصارًا.
لنتأمل بالفعل هذا المثلث القائم المرسوم فيه ارتفاعه نجد أننا برسم الارتفاع أنشأنا في داخل المثلث الأصلي مثلثين قائمي الزاوية مشابهين للمثلث
الأصلي، والمثلث القائم الزاوية الذي يمكن أن نرسمه على الوتر خارج المثلث نرسمه هذه المرة في"داخل المثلث"فهو عندئذ ينطبق على المثلث الأصلي تمامًا.
ويكون مجموع المثلثين ب جـ هـ، ب هـ د يساوي المثلث ب حـ د. وهكذا يكون قد تم البرهان بدون حيلة ولا تكلف.
والبرهانات على هذه الخاصية من أجل المضلعات الأخرى يسهل اشتقاقها من البرهان الحاصل من هذا الشكل الموجز البسيط، إذ يمكن عندئذ أن نكتب:
سط1 سط2 سط
ـــ = ــــ = ــــ
سطَ1 سطَ2 سطَ
سط1 + سط2 سط
ـــــــــ = ــــ
سطَ1 + سطَ2 سطَ
ولما كان سط = سط1 + سط2 لزم سطَ = سطَ1 + سطَ2
ويترتب على ذلك فورًا أن المربع المرسوم على الوتر يساوي مجموع المربعين المرسومين على الضلعين الأخريين.
ومع ذلك فإن التشابه أيضًا بين المثلث الأصلي وكل من المثلثين اللذين هما جزآه يتيح كتابة العلاقات الآتية:
جـ د دب
ــــ = ـــــ ومنه دب2 = حـ د . هـ د
د ب هـ د
وكذلك:
حـ د ب جـ
ــــ = ـــــ ومنه ب جـ2 = حـ د . هـ حـ
ب جـ حـ هـ
د ب2 + ب جـ = حـ د ( حـ هـ + هـ د ) = حـ د2