فالخوارزمي في وقوفه عند الجذور التخيلية السالبة) وتحاشيه للخوض في بحثها مع إدراكه لها يتفق مع عصره بعدم الخوض في الغيبيات خوف الخطأ والخطأ من الكبائر ولكن توسيع المدرك بالعقل قد أحاط بالكون وما فيه وانتقل إلى ما بعده وهو الذي دفع إلى استمرار البحث حيث جاءت العصور الأخيرة بالحل حينما بدأ بالبحث في الكميات التخيلية على أيدي العالم الرياضي الدنماركي كسبار فسل 1818 والعالم الرياضي جان روبير ارجان 1882.
الخاتمة بما هو جديد في البحث:
تلميحات إلى مبدأ لافوازييه، ومذهب الماديين التاريخيين في الحقبة الأخيرة والمعاصرة، والإسلام كدين ومذهب علمي دار حوله البحث العلمي وكان دافعًا له في الحقبة المتقدمة من العصر الوسيط بالمقارنة مع مبحث الصفر واستخداماته والواحد وأهميته، والمدرك المعروف باللانهاية ) التي استند إليها الخوارزمي في الحل الجبري.
في تعريف الصياغة أنها التكوين الفني للإحساسات الداخلية وابتداع الصور لها وإيجاد أسلوب المحاجة المنطقية.. الخ، كما وأن العلم أو المذهب العلمي هو استمرار في اكتشاف المجهول ومعرفة أسراره وتطوير القواعد الثابتة لهذه الاكتشافات في سبيل الاستمرار والوصول إلى الأفضل.