ولا يخفى أن ما رأيناه سابقًا في الحالة الخاصة من وضوح تساوي المثلثات وتصور انتقالها بالفكر وانطباق بعضها على بعض لا يحصل هنا، فلنبحث إذن عن الوسائل التي نستطيع بها أن نقيم البرهان بصورة غير مباشرة. رسم ثابت الخط ب ل و وصل دق، ب و، وأخذ نصف المربع أي المثلث ب حـ ق ونصف المستطيل أي المثلث حـ هـ و. فالمثلث ب حـ ق يساوي المثلث ق حـ د (لأن لهما قاعدة واحدة ق حـ، وارتفاعًا واحدًا ب حـ) . والمثلث حـ هـ ويساوي المثلث ب حـ و (لأن لهما قاعدة واحدة حـ و، وارتفاعًا واحدًا حـ هـ) .
ومن السهل ملاحظة تساوي المثلثين ق حـ د، ب حـ و (لأن زاويتين فيهما متساويتان ق حـ د = ب حـ و، ولأن الضلعين اللتين حول كل زاوية منهما تساويان الضلعين اللتين حول الأخرى) .
وهكذا ننتهي إلى أن مساحة المربع تساوي مساحة المستطيل في الجانب الأيسر.
ومثل ذلك يحصل تمامًا من أجل المربع والمستطيل في الجانب الأيمن. والبرهان كله إنما يتم باعتماد سلسلة من المساويات أو المطابقات. هذا ولكن اليقين بالبرهان إنما يتم بشيء من البطء نظرًا لطول سلسلة المساويات تلك، ولا يتوكد هذا اليقين إلا باعتماد هذه السلسلة من المساويات والمرور بها بشيء من السرعة. وذلك أن اليقين متصل بتنظيم الذاكرة حيث تتكاثف عناصر البرهان ثم يتلامح هذا التكاثف في زي الحدس. والمعلم المربي الماهر هو الذي يقود التلميذ إلى هذا النوع من التكاثف الحدسي إذا صح هذا التعبير، مع الانتباه عند كل برهان للسرعة اللازمة في تقديم عناصره.